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Full text of "Nomographie, Les Calculs Usuels Effectues au Moyen Des Abaques"

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NOMOGIUI'IIIE. 



LES CALCULS USUELS 



EFFECTUES \[ MOYEN 



DES ABÀQVES. 

ESSAI 1) UNK ÎHÉORÏE GÉNÉRALE, 
Hègles pratiques. — Exemples d'application, 

l»AR 

Maurice d'OCAGNE, 

. XUJ-VJEUR DES l'OMS KT CHAUSSJ 




PARIS, 

GAUTHÏER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU BUHEAt DES LONGITUDES. DE L' ECO LE l> <> L Y T I < |J \ 1 i- I ! 
Quai dés Graods-Auffuslius, 55. 



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Gordon Bell 



http://archive.org/details/nomographielescaOOdoca 



NOMOGRAPHIE 



LES CALCULS USUELS 



EFFECTUES AU MOYEN 



DES ABAQUES. 



!7329 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIEIl-YILLARS ET FILS, QUAI DES GRANDS-Al'GVSl INS, 53 



NOMOGRAPIIIE. 



LES CALCULS USUELS 



EFFECTUES AU MOV EN 



DES ABAQUES. 



ESSAI DUNE THÉORIE GÉNÉRALE. 
Règles pratiques. - Exemples d'application, 

PAR 

Maurice d'OCAGNE, 

INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES. 




PARIS, 

GAUTIIIER-VILLARS ET FILS, IMPRIIVJEURS-LIBHAIRES 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l/ ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
Quai des Grands-Aiigustius, ôô. 

1891 

( Tous droits réserves. I 



AVANT-PROPOS 



Le calcul numérique est une nécessité journalière pour une foule 
de professions. Le physicien el plus particulièrement l'électricien , 
le financier, le navigateur, l'artilleur, etc., sont, à des degrés di- 
vers, tous soumis à cette nécessité; pour l'ingénieur, elle est par- 
ticulièrement impérieuse. Or le calcul est une opération longue 
le plus souvent, et fastidieuse toujours, dont on doit, autant que 
possible, chercher à s'affranchir. L'idéal, en cet ordre d'idées, 
doit être, étant connues certaines données, d'en déduire instanta- 
nément et sans aucune opération intermédiaire, ou, du moins, 
par une opération réduite à sa plus simple expression, la quantité 
qu'on veut obtenir. 

Ce résultat a été recherché de diverses manières. Nous citerons 
les Tables numériques, fort commodes assurément pour ceux qui 
s'en servent, mais qui représentent un travail considérable pour 
ceux qui les dressent; les machines et les règles à calcul, dont les 
premières coûtent souvent fort cher ( 1 ), et qui, en tout cas, ne 
s'appliquent qu'à des opérations générales, telles que la multipli- 
cation, la division, l'extraction des racines, etc. 

Sans vouloir méconnaître l'intérêt qui s'attache à ces divers 
instruments de calcul, nous croyons pouvoir affirmer que c'est la 
méthode graphique qui constitue le moyen le plus pratique et h; 
plus universel de supprimer la nécessité du calcul numérique. 
Lncore convient-il de faire ici une distinction. La méthode gra- 
phique peut venir en aide au calculateur de deux manières abso- 
lument différentes. 

Dans certains cas, les données étant prises sous forme d'éléments 
géométriques simples, segments de droites, angles, aires, etc., il 



(') Nous devons dire, cependant, qu'un ingénieur civil attaché à l'administra- 
tion des Chemins de fer de l'Etat, M. Genaille, a construit divers appareils de 
calcul aussi simples qu'ingénieux, dont le prix de revient est insignifiant. 
0. i 



2 AVANT-PROPOS. 

s'agit, au moyen cV une construction, d'en déduire les inconnues 
mises sous la même forme. On doit, en d'autres termes, exécuter 
une épure. A ce genre d'application appartiennent, en particulier, 
tous les procédés de la Statique graphique, et nous entendons par 
là non seulement ceux à qui cette dénomination est plus spécia- 
lement réservée et qui dérivent systématiquement des propriétés 
des polygones funiculaires, mais encore tous ceux qui se déduisent 
d'autres considérations géométriques, tels, par exemple, que 
M. Collignon en a fait connaître, et de si élégants, pour le pro- 
blème de la poutre droite soumise à des charges discontinues, pour 
celui de l'arc parabolique surbaissé, etc. 

Les épures ainsi substituées au calcul numérique sont, en géné- 
ral, fort simples, fort expéditives, et les ingénieurs accusent une 
tendance de plus en plus marquée à y recourir. Mais elles sont 
encore en dehors du sujet que nous avons en vue ici, et qui a trait 
à un autre mode d'application de la méthode graphique. Celle-ci 
peut, en effet, fournir la représentation sur un plan, au moyen de 
certains systèmes de courbes faciles à construire et construites une 
fois pour toutes, des équations qui lient entre elles les quantités 
soumises au calcul. De tels Tableaux graphiques, ou abaques, 
pour employer un terme que l'usage a aujourd'hui pleinement 
consacré, donnent les résultats à déduire de la formule à laquelle 
ils s'appliquent par une simple lecture. Ils suppriment donc, une 
fois construits, toute espèce d'opérations, et se trouvent ainsi réa- 
liser l'idéal que nous définissions plus haut. 

Leur exécution, il est vrai, représente un certain travail; mais 
celui-ci, qui est loin d'être aussi important qu'on pourrait le 
croire au premier abord, est, en tout cas, incomparablement plus 
simple et exige infiniment moins de temps que celui de la construc- 
tion des Tables numériques ( 1 ), pour fournir les mêmes résultats 
que celles-ci dans le cas où elles sont réalisables, et s'étendre à 
une foule d'autres cas pour lesquels elles ne seraient pas pratique- 
ment possibles, faute de se pouvoir prêter à plus de deux entrées. 



(') Il est assez difficile de chiffrer l'économie de temps résultant de la substi- 
tution d'un abaque au calcul d'une table numérique à double entrée. Notre ex- 
périence personnelle nous permet d'affirmer que, bien souvent, le rapport des 
temps employés dans l'un et l'autre cas, atteint celui de i à 20 et même davan- 
tage. 



ÀVANÏ-PKOPOS. 



Il est bien évident d'ailleurs que la construction des abaques ne 
sera véritablement avantageuse que lorsqu'il s'agira de formules 
d'un usage fréquent. Mais celles-ci sont assez, nombreuses pour 
attester la haute utilité pratique de la méthode et attirer sur elle 
l'attention des gens techniques en raison du profit, en quelque 
sorte permanent, qu'ils ont à en tirer. 

Nous souhaiterions même que l'usage des abaques entrât assez 
dans leurs habitudes pour que les auteurs écrivant sur des sujets 
techniques fussent amenés, en faisant connaître quelque formule 
nouvelle applicable à un objet pratique, à en faire immédiatement 
la traduction sous forme d'abaque, de façon à donner mieux que la 
formule elle-même, à savoir les résultats auxquels elle doit con- 
duire dans les cas où elle est applicable ( ' '). Il nous semble de même 
que le recueil des formules relatives à une certaine profession 
pourrait être avantageusement remplacé par l'atlas des abaques 
correspondants. Cette considération n'a pas été étrangère à l;i 
pensée qui nous a guidé dans la rédaction du présent Travail, dont 
nous faisons ressortir le but un peu plus loin. 

Rappelons d'abord qu'il y a fort longtemps qu'on a songé à uti- 
liser la méthode graphique en vue de la suppression du calcul nu- 
mérique. U Arithmétique linéaire de Pouchet, fondée sur cette 
idée, remonte à 1790. Nombre de travaux datant de la première 
moitié du siècle et dus à d'Obenheim, Bellencontre, Allix, s'en 
sont également inspirés. Terquem semble avoir, le premier, énoncé 
un principe général sur le sujet en faisant remarquer que la repré- 
sentation graphique des équations à trois variables pouvait être 
identifiée à la représentation plane d'une surface topographique 
par les projections de ses courbes de niveau. 

Depuis lors, M. Lalanne, en imaginant le principe de l'anamor- 
phose qui lui permit d'apporter une grande simplification dans la 
construction de certains abaques d'un usage tout à fait courant, 
ouvrit une voie nouvelle, dans laquelle il fut suivi par de nombreux 
auteurs, notamment par MM. Gollignon (formules d'Hydraulique), 



(') Ce vœu se trouve déjà réalisé dans divers Ouvrages ou Mémoires tech- 
niques, notamment dans le Traité de Nivellement de haute précision de 
M. Lallemand, qui fait partie de l'Encyclopédie des Travaux publics, dans la 
remarquable Étude sur le dessèchement des pays watringués, de M. Crépi u 
(Annales des Ponts et Chaussées, 6 e série, t. \, p. ig5; 188 1), etc. 



4 AVAAT-PROPOS. 

Ghérj (formules de la résistance des matériaux), Massau, qui a 
énoncé le principe de l'anamorphose dans toute sa généralité, etc. 
Il est inutile de rappeler longuement les services rendus par les 
abaques construits par M. Lalanne, d'après son principe, pour le 
calcul des profils de terrassements, alors qu'étaient dressés les 
projets des lignes de notre grand réseau de chemins de fer. 

Plus récemment, une application tout à fait remarquable des 
abaques, et d'abaques conçus d'après uu principe nouveau, a été 
faite au Service du Nivellement général de la France, par M. l'In- 
génieur des Mines Lallemand, chargé de diriger les opérations de 
cet important service. Grâce à ces abaques, dits hexagonaux ('), 
sur lesquels nous aurons occasion de nous étendre au cours de ce 
Travail, M. Lallemand est parvenu à faire faire en quelques minutes 
une besogne qui se répète journellement et qui absorbait aupara- 
vant tout le temps de certains employés attelés au travail ingrat et 
rebutant des calculs de correction. 

Cette application seule des abaques suffirait à fixer sur eux 
l'attention de tous les hommes techniques qui, dans chaque spé- 
cialité, n'ont pas moins d'avantages à en attendre. 

Ayant eu, pour notre part, fréquemment occasion d'y recourir, 
nous avons aussi rencontré divers procédés susceptibles, en cer- 
tains cas, de faire naître de sérieuses simplifications. Nous nous 
sommes donc trouvé tout naturellement conduit à faire une étude 
comparative des diverses méthodes connues, de façon à essayer 
d'en faire saillir les traits généraux, et nous avons été ainsi amené 
à reconnaître, entre des méthodes en apparence assez dissemblables 
et tirées par leurs auteurs de points de départ tout différents, un 
lien qui les fait rentrer toutes dans un cadre commun et unifor- 



(') Sauf une Note très succincte présentée à l'Académie des Sciences {Comptes 
rendus, t. Cil, p. 816), M. Lallemand n'a pas encore livré au public l'exposé de 
sa Méthode, l'autographie qui en a été faite et que nous citons plus loin, dans la 
Note bibliographique, n'ayant pas été mise en vente. Néanmoins, ce savant ingé- 
nieur a bien voulu nous engager à donner dans le présent Ouvrage les principes 
encore inédits de sa Méthode. Nous tenons à lui en faire nos remerciements, et 
nous avons l'espoir que ce que nous disons ici de ses abaques hexagonaux don- 
nera à nos lecteurs la curiosité de prendre connaissance, dès qu'elle paraîtra, de 
la publication détaillée qu'il compte leur consacrer. Il y a d'ailleurs lieu de noter 
que la façon dont nous présentons ces principes, qui dérive de notre méthode 
générale, diffère absolument de celle par laquelle leur auteur les a établis. 



AVAM-PR0P0S. 5 

mément dériver de certains principes à la vérité bien simples ci 
bien élémentaires. 

C'est donc, à proprement parler, l'ensemble d'un petit corps de 
doctrine que nous avons constitué en des matières jusqu'ici assez 
éparses. Il serait plus exact de dire que ce n'est encore que 
l'ébauche d'un tel corps de doctrine. Mais, tel qu'il est, nous avons 
pensé qu'il y avait utilité à faire connaître le fruit de nos recher- 
ches, tant au point de vue didactique, pour mettre une certaine 
uniformité dans l'exposé des méthodes déjà connues et rendre par 
là leur assimilation plus aisée à ceux qui les abordent pour la pre- 
mière fois, qu'au point de vue pratique, pour faciliter l'extension 
et les applications ultérieures de ces méthodes. 

Notre exposé se trouve naturellement complété par un certain 
nombre d'exemples. Nous avons généralement choisi ceux-ci moins 
pour leur importance propre qu'en raison des remarques particu- 
lières auxquelles ils pouvaient donner lieu sur l'application de la 
théorie. 

Nous nous sommes néanmoins appliqué à les prendre dans la 
pratique courante, notamment dans celle du métier d'ingé- 
nieur ( *). 

Nous tenons encore à présenter une observation sur un point 
de méthode de l'exposé qui va suivre. La théorie des points iso- 
plèthes qu'on trouvera plus loin (Chap. IV) et pour laquelle nous 
employons un système spécial de coordonnées tangentielles, les 
coordonnées parallèles, pourrait évidemment être faite en coor- 
données cartésiennes ordinaires. Il suffirait, pour cela, au lieu de 
représenter le point par une équation en coordonnées parallèles 
dont les coefficients sont fonctions d'un certain paramètre, de 
le représenter par ses deux coordonnées cartésiennes, fonctions 
de ce paramètre. Mais, outre que l'emploi de ces coordonnées 
parallèles est aussi simple que possible, puisque toutes les notions 
qu'il exige tiennent en quelques lignes (n° 28), il a l'avantage, en 



(') Nous tenons aussi à dire que nous avons dû, par suite de nécessités typo- 
graphiques, établir la plupart des abaques qui figurent dans cet Ouvrage à une 
échelle inférieure à celle qui serait adoptée dans la pratique en vue d'obtenir 
le degré d'approximation requis par les applications. Par la même occasion, nous 
adressons nos remerciements à M. le Conducteur des Ponts et Chaussées Gucrchc. 
pour le soin avec lequel il a dessiné les figures de cet Ouvrage. 



t> AVANT-PROPOS. 

établissant une corrélation parfaite entre la théorie des points 
isoplèthes et celle des droites isoplèthes, de rattacher celle-là 
comme celle-ci au principe fondamental par où débute cette étude 
et qui se trouve ainsi la dominer tout entière. 11 n'en aurait pas 
été de même si la théorie des points isoplèthes avait été faite en coor- 
données cartésiennes. 

Nous ne supposons d'ailleurs, dans tout notre Travail, que l'em- 
ploi des coordonnées soit ponctuelles cartésiennes, soit tangen- 
tielles parallèles. Il est bien évident qu'on pourra, le cas échéant, 
en utiliser d'autres, et notamment celui des coordonnées polaires. 
Les principes de la méthode n'en seraient, pour cela, nullement 
modifiés. 

Nous n'avons pas cru devoir nous arrêter spécialement au cas 
des équations à deux variables qui ne présente aucune notable 
particularité. Il suffît d'ailleurs, pour être ramené à ce cas, de sup- 
poser, dans le cas de trois variables, une de celles-ci remplacée par 
une constante. 

Arrivé au terme de notre recherche, nous avons pensé qu'il y 
avait lieu de désigner, par une dénomination propre, le petit corps 
de doctrine spécial qu'elle avait mis en relief à nos yeux. Comme 
il s'agit, en somme, de la représentation graphique de la loi qui 
unit plusieurs quantités simultanément variables, loi dont ce qu'on 
appelle équation n' est que l'expression analytique, nous avons cru 
pouvoir adopter le terme de Homographie (yduoç, loi), inscrit en 
tête de cette étude. 

Au point de vue philosophique, on peut faire un rapproche- 
ment entre la Nomographie et la Géométrie descriptive. L'un et 
l'autre de ces corps de doctrine ont pour but la mise en application 
de certains principes des Sciences mathématiques, sans l'interven- 
tion d'aucun autre principe étranger à ces Sciences, en vue de 
certains besoins absolument pratiques. 

La Géométrie descriptive ramène au plan les faits de Y espace, 
la Nomographie ceux du nombre. L'une repose sur l'emploi de 
quelques propositions simples de Géométrie pure, l'autre sur 
quelques principes non moins élémentaires de Géométrie analy- 
tique. 

Avril 1891. 



NOTE BIBLIOGRAPHIQUE. 



NOTE BIBLIOGRAPHIQUE 



[Nous n'avons aucunement la prétention de dresser ici une liste com- 
plète de la Bibliographie des abaques. Nous donnons simplement les 
titres des Ouvrages de langue française où se trouvent, à notre con- 
naissance, traitées avec quelque généralité, plusieurs des parties que 
nous avons fondues en un seul corps dans le présent Ouvrage : 

LALANNE. — Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie 
anamorphique (Ann. des Ponts et Chaussées, 1 e1 sem.; 184O). 

L AL ANNE. — Méthodes graphiques pour V expression des lois à trois 
variables. Mémoire publié dans les Notices sur les modèles, cartes et 
dessins relatifs aux Travaux des Ponts et Chaussées, réunis par les 
soins du Ministère des Travaux publics, à l'occasion de l'Exposition 
universelle de Paris, en 1878. 

Lalanne. — Méthodes graphiques pour l'expression des lois empiriques 
ou mathématiques à trois variables. Ce Mémoire, qui ne diffère du 
précédent que par quelques points de détail, a été inséré dans l'Ouvrage 
de même titre que le précédent, qui a été publié à l'occasion de l'Expo- 
sition universelle de Melbourne, en 1880. 

Lallemand. — Les abaques hexagonaux. Feuilles lithographiées en 1 885 
par les soins du Ministère des Travaux publics, pour les besoins du 
Service du nivellement général de la France, et non livrées au public. 

Massau. — Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications 
(Liv. III et IV). Publié dans les Annales de l'Association des Ingénieurs 
sortis des écoles spéciales de Gand, en 1 884 et années suivantes. Les 
Livres I et II de ce Mémoire, qui ne traitent des abaques dans aucune 
de leurs parties, avaient paru en 1878. 

Favaro et Terrier. — Leçons de Statique graphique (T. II, Chap. V, 
VI, VII, et Notes additionnelles). Paris, Gauthier-Villars ; i885. 

D'Ocagne. — Procédé nouveau de Calcul graphique (Annales des Ponts 

et Chaussées, 2 e sem. 1884). 
D'Ocagne. — Méthode de Calcul graphique fondée sur l'emploi des 

coordonnées parallèles (Génie civil, t. XVII, 1890). 



NOMOGRAPHIE 



LES CALCULS USUELS 



EFFECTUES Al MOYEN 



DES ABAQUES. 



CHAPITRE I. 

ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TROIS VARIABLES. 

Principe fondamental. Définition des isoplèthes. 

1. Considérons les équations de trois courbes renfermant cha- 
cune un paramètre arbitraire 

(L) Fi(*,.r, «)=o, 

(Ii) F 2 (^, r ,P)=o, 

(Ii) F,(a?,^, Y ) = o. 

A chaque valeur du paramètre a correspond, en vertu de (l|), 
une courbe qui peut être désignée par cette valeur de a inscrite à 
coté de cette courbe. Pour rappeler que l'élément a a la même 
valeur tout le long d'une quelconque de ces courbes, celles-ci sont 
dites des isoplèthes (') pour l'élément a. Nous les désignerons 
ordinairement par la notation (a). 

De même la variation de [3 dans (I 2 ) et celle de y dans (1 3 ) four- 
nissent des isoplèthes respectivement cotées au moyen des valeurs 
de p et de y. 

(') Terme proposé par l'auteur allemand Vogler et adopté par M. Lalanne. 



CHAPITRE I. 



Si nous éliminons xely entre les équations (I, ),(l 2 ) el (ï 3 ), nous 
obtenons la relation à laquelle doit satisfaire un système de va- 
leurs de a, [j, y, pour que les isoplètlies correspondantes concourent 
en un même point. Cette relation peut s'écrire 



(E) 



F (a, 3, y)= o. 



H est donc permis de dire que le Tableau graphique ou abaque, 
formé parles trois systèmes de courbes cotées, qui viennent d'être 
définis, constitue une représentation de l'équation (E). Un tel 
abaque est représenté schématiquement par la fi g. i . 



Fis. ' 




La liaison entre les valeurs de a, (3, Y qu'établit cette équation 
se traduit sur l'abaque parle fait du croisement en un même point 
des courbes pourvues des cotes correspondantes. Par exemple, 
sur l'abaque de la/ig. i , pour o>= 3, (3 = 4-, on aurait y = 2. 

Ici se placent deux remarques essentielles au point de vue de la 
construction des abaques. 

[° Les accroissements successifs, généralement égaux, qu'on 
donnera à chaque paramètre pour engendrer un cours d'isoplèthes 
devront être assez petits pour que l'interpolation à vue qui se fera 
entre celles-ci atteigne le degré d'approximation voulu; il faudra, 
d'autre part, que le dessin soit fait à une échelle, telle que les 
isoplètlies répondant à ces valeurs successives du paramètre se 
dégagent nettement au regard. 

2° On se rendra compte a priori du champ à l'intérieur duquel. 



ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TKOIS VARIABLES. I l 

en pratique, rcsle comprise chacune des variables, afin de ne pas 
charger le Tableau de parties inutiles. 

Outre donc la forme de l'équation à représenter, on devra con- 
naître, dans chaque cas particulier, le degré d'approximation 
exigé et Y amplitude de la variation de chacune des quantités 
figurant dans l'équation. 

L'abaque étant supposé satisfaire à la condition qui vient d'être 
énoucée, relativement au degré d'approximation obtenu par une 
interpolation visuelle, nous pourrons parler des courbes que l'œil 
intercale de lui-même entre celles qui sont effectivement tracées 
au même titre que de ces dernières. 

Nous dirons, par suite, aussi bien pour les valeurs interpolées 
des variables que pour leurs valeurs cotées, que, si l'on se donne 
les valeurs de deux des variables a et [3, on a la valeur correspon- 
dante de y déterminée par l'équation (E), en lisant la cote de 
Visoplèthe (y) qui passe par le point de croisement des isoplè- 
thes (a) et (p). 

Méthode ordinaire. 

2. Il est de toute évidence, étant donnée l'équation (E), qu'on 
peut choisir arbitrairement deux quelconques des trois premières 
équations, par exemple ([,) et (Io)î (I3) s'obtient alors en élimi- 
nant a et (3 entre ces équations et l'équation donnée (E). Toute la 
question se réduit, étant donnée cette dernière, à choisir judicieu- 
sement (T,) et (I 2 ) pour que les courbes représentées par celles-ci. 
ainsi que celles données par l'équation (T 3 ) qui s'en déduit, soient 
aussi simples que possible. 

On est tout d'abord amené à donner à (\ { ) et ( F 2 ) la forme la plus 
simple, en posant 

(I 1 ,) .r-a, 

(!■) <r =p. 

L'équation (I 3 ) devient, dans ce cas, 

Cela revient à prendre deux des variables pour coordonnées 
courantes et la troisième comme paramètre arbitraire. C'est là le 
procédé qui se présente le plus naturellement à l'esprit et qui est 



CHAPITRE 



Je plus couramment appliqué. Ici les isoplèthes (a) sont des paral- 
lèles équidistantes à Taxe des y, les isoplèthes ((3) des parallèles 
équidistantes à l'axe des x. L'abaque se compose en somme des 
isoplèthes (y) tracées sur une feuille quadrillée (Jig. 2). 



Fie. 2. 




Ce mode de représentation (') étant applicable à toutes les 
équations à trois variables, il aurait été bien inutile de le faire 
découler d'un principe plus général, si celui-ci ne devait, dans 
certains cas, conduire, par une particularisation différente, à des 
abaques de construction plus simple. 

Principe de l'anamorphose. 

3. Prenons, par exemple, une équation de la forme 
(E«) /(*)My)+?(P)My)-Wy)=o. 

Ici nous prendrons pour équations (1,) et (L) 

(lY) * = /(«), 

(IV) r=?(P). 



(') Les applications connues en sont des plus nombreuses. Nous citerons, en 
particulier, pour le soin avec lequel ils ont été dressés, les excellents Tableaux 
graphiques sur les questions d'intérêts et de finances de M. Eugène Pereirc. 



EQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DE TIIOIS VARIABLES. 



i3 



L'équation (I 3 ) obtenue, comme nous l'avons <lil plus haut, par 
élimination de a et (3 entre (1\), (I2) el (E), est ici 



dy) 



, +i(t)-^^4'»(y)-«- *s(t.) 



Les isoplèthes (a) et (fi) sont donc encore des parallèles aux 
axes, mais cette fois, non plus équidistantes, et les isoplèthes (y) 
sont aussi des droites, tangentes à une certaine courbe dont l'équa- 
tion, si on la désirait, s'obtiendrait, comme on sait, en éliminant y 
entre l'équation (Iy) et sa dérivée prise par rapport à y. 

C'est la substitution de ces droites (y) aux courbes que donne- 
rait l'application de la méthode ordinaire qui constitue le principe 
de r anamorphose de M. Lalanne. Cette façon de l'établir montre 
immédiatement qu'il n'est qu'un cas particulier de celui qui \a 
èlre maintenant indiqué. 



Généralisation du principe de l'anamorphose. 



4. Cherchons la forme générale des équations représentables 
par trois cours d'isoplèthes rectilignes. Dans cette hypothèse, les 
équations (I|), (L) et (I 3 ) devant être du premier degré en x a\ y 
pourront s'écrire 



(iy 1 ) 
(iy 1 ) 



x f\ ( * > ■+- yfï (°0 -+-/* ( a ) = °» 

a?cp!(j3 )-i-^«pïO)+cp3(p )= o. 
#<W(Y H-JkWï ) + <h(y ) = o, 



La forme de l'équation (E) correspondante, obtenue par élimi- 
nation de x et r, peut s'écrire immédiatement sous forme de dé- 
terminant 

/i(a) /,(<*) Ma) 

(E»') ? i(P) cp 2 (p) ©,(p) 

+i(ï) <Mï) <Mï) 

La disposition générale des abaques correspondants est repré- 
sentée schématiquement par \ajig. 3. 

11 n'est pas toujours facile, sans quelques tâtonnements, de voir 
si une équation donnée entre trois variables peut se mettre sous 



MIAPITRE I. 



cette forme ('). Voici un cas, assez fréquent dans la pratique, où 
la vérification se fait très facilement : c'est celui où l'équation 



Fig. 




donnée se présente sous la forme 

(E'v) Vi[ cl, ^).i; 1 ( ï ) +/ ,(a, P)^ 2 (T)+X3(a; P)<h(Y)=o. 

Il suffit alors de poser 

A , ) x»(«.P) 

r x»(*. P) 



(') Le caractère commua à toutes les équations susceptibles de revêtir la 
forme (E IM ) se traduirait par une équation aux dérivées partielles obtenue par 
l'élimination des fonctions arbitraires qui entrent dans cette forme. Ces fonc- 
tions sont au nombre de six (car on ne doit, dans chaque ligne du déterminant, 
considérer comme arbitraires que les rapports de deux des éléments au troisième) 
et le problème d'Analyse consistant à les éliminer ne manquerait pas d'une cer- 
taine complication. Ce problème a été complètement résolu, et d'une manière 
fort élégante, par M. l'Ingénieur des Mines Lecornu (Comptes rendus de VAca- 
démie des Sciences, t. Cil, p. 8i5), dans le cas où la forme (E 111 ) se réduit à (E 11 ). 
M. Lecornu a non seulement éliminé les quatre fonctions arbitraires que ren- 
ferme (E"), mais encore indiqué la façon dont elles peuvent se déterminer lors- 
qu'on a vérifié que l'équation proposée peut se mettre sous cette forme. 



ÉQUATIONS NE CONTENANT PAS PLUS DR TROIS VARIABLES. I 5 

et d'éliminer successivement t J et a entre ces équations. Si les ré- 
sultants de ces éliminations sont du premier degré en x et y, 

( (r, v ) a?/i(a)+^/ t (a)-+-/ 8 (a) = o, 
i (f' 2 v ) ar9i(P)-h.r?«(P)-+-(p,(P) = o ï 

on prendra ces équations pour (I,) et (I 2 ); (I3) s'obtiendra en 
éliminant a el fJ entre ces équations cl (E IV ), et comme le sys- 
tème (B) est équivalent au système (A), le résultat de celle élimi- 
nation sera 

L'équation (E ,v ) sera donc alors représentable par trois cours 
d'isoplèthes rectilignes. 

Triple réglure. 

5. Il nous sera nécessaire d'adopter une dénomination spéciale 
abrégée pour les équations représentables par trois cours d'iso- 
plèthes rectilignes, c'est-à-dire rentrant dans le type général (E m ). 
Nous proposerons le terme adéquations à triple réglure qui 
évoque bien l'idée de la propriété sus-indiquée. 

Isoplèthes circulaires. 

6. Remarquons en passant que, pour certaines formes de l'équa- 
tion (E), une ou plusieurs des équations (1, ), (I 2 ) et (I 3 ) pour- 
ront être choisies de façon à représenter des cercles. On aura ainsi 
la représentation, au moyen d'isoplèthes circulaires, aussi faciles à 
construire que des droites, de certaines équations non à triple 
réglure. On en trouvera plus loin (n° 16) un exemple remarquable. 

Échelles binaires à parallèles. 

7. Soit une fonction de deux variables cp((5, y); on peut toujours 
construire un abaque sur lequel ses valeurs soient données par des 
segments proportionnels, déterminés sur un axe par des parallèles 
à un autre axe. Posons, en effet, 

?(M) = « 



CHAPITRE I. 



et représentons cette dernière équation par un abaque ainsi qu'il 
a été dit au n° 2 (jfig. 2), c'est-à-dire en prenant comme premier 
cours d'isoplèthes [éq. (I ( )] 

x = a. 

Dans ces conditions, la parallèle à l'axe des y, menée par le 
point de croisement des isoplèthes (|3) et (y), détermine sur l'axe 
des x un segment qui donne, à l'échelle de la figure, la valeur cor- 
respondante de cp(P, y). Aussi l'abaque ainsi construit est-il dil 
une échelle binaire à parallèles de la fonction 'f ( i 3, y). On verra, 
au Chap. V, le parti que M. Lallemand a su tirer de l'emploi de ces 
échelles binaires, dont il semble avoir été le premier à se servir 
systématiquement. 

Échelles binaires à radiantes. 

8. On peut encore avoir les valeurs de <p([3, y) par les coefli- 

Fig. 4. 




cients angulaires de droites issues de l'origine. 11 suffit pour cela, 
après avoir posé comme précédemment 

« = ?(M>> 
de construire l'abaque (fig. 4) de cette dernière équation en prc- 



ÉQUATIONS NE CONTENANT TAS PLIS DÉ TROIS VARIABLES. 17 

nant comme premier cours d'isoplèthes [éq. (!«)] 

y = <z.r, 

Dans ces conditions la droite joignant l'origine au point de croi- 
sement des isoplètlies ([3) et (y) a pour coefficient angulaire ï>((3, y); 
on a ainsi une échelle binaire à radiantes de la fonction ©(£}, Y I. 
Ces échelles ont été également imaginées par M. Lallcmand. 

Échelles binaires anamorphose es. 

9. En général, dans ce cas, comme dans le précédent, on pren- 
dra comme second système d'isoplèthes des parallèles équidis- 
lantes à un des axes, en adoptant pour équation (I 2 ) 

X=?- 
On pourra néanmoins choisir autrement le second cours d'iso- 
plèthes, de façon à n'avoir pour isoplètlies que des droites quand 
la forme de la fonction p((3, y) s'y prêtera. 

Ainsi, dans le cas du n° 7, si l'équation donnée a la forme 

« = <KP)«W(y) ■+-*,(?), 
on prendra évidemment comme équation (I 2 ) 

r = ?(P), 

parce qu'alors, l'équation (T,) étant 

x = a, 
il viendra pour l'équation (I : , ) 

qui représente des droites. 

De même dans le cas du n° 8, si l'équation donnée a encore la 
forme 

on prendra comme équation (L ) 



T(P) 
parce qu'alors l'équation (I 3 ) sera 

On a ainsi des échelles binaires anamorphose es. 



2 4 CHAPITRE II. 

avait immédiatement les valeurs de celles-ci en fractions de temps 
au moyen du cercle horaire dessiné sur la figure. On peut de même, 
au lieu de coter les isoplèlhes D par la valeur de la déclinaison, 
les coter au moyen de l'époque correspondante de l'année. 

11 n'y a, dès lors, qu'à suivre l'horizontale passant par le point de 
rencontre delà verticale correspondant à la latitude et de la radiante 
correspondant à l'époque de Tannée pour lire sur le cercle horaire 
les heures de lever et de coucher du Soleil. 

2° Abaque du poids de la vapeur d' eau contenue dans V air. 

— Soit à mettre en abaque la formule qui donne le poids en 

grammes de vapeur d'eau contenue dans un mètre cube d'air en 

fonction des indications de l'hygromètre à condensation ('). Cette 

formule est 

, = °ii! f = k f , 

7G0 i-i-o,oo366£ a-i-bt' 

f étant la tension de la vapeur d'eau, Ha température. 
On n'aura qu'à prendre comme équations (I,) et (L) 

x = kf (parallèles équidistantes à l'axe des^), 
y = a-^-bt (parallèles équidistantes à l'axe des x). 

L'équation (I 3 ) sera dès lors 

x 

— — p (droite émanant de l'origine). 

La construction de cet abaque ne présenterait donc aucune par- 
ticularité, sans cette circonstance que /n'est pas donné directe- 
ment. La donnée que fournit l'hygromètre est la température /' 
pour laquelle la tension f devient maximum, Supposons alors 
construite, sur l'abaque même, au moyen des tables de Kegnault, 
la courbe qui donne kf en fonction de t', l'échelle des tempéra- 
tures étant d'ailleurs confondue avec celle déjà construite pour /. 
Nous n'avons plus, pour avoir la parallèle à l'axe des y de cote /, 
qu'à prendre celle de ces parallèles qui passe par le point de la 
courbe dont l'ordonnée est t' . 



(') Nous avons eu à construire cet abaque, en 1886, pour la Direction de l'Ai 
tillerie du port de Kochefort, en vue de certaines observations à faire plusieurs 
fois par jour dans les poudrières. 



QUELQUES EXEMPLES I) ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. 25 

On ne construira d'ailleurs du tableau que la partie {PI. I) 
répondant à l'amplitude de variation pratique des quantités/?,/", t. 

L'emploi de l'abaque se réduit dès lors à ceci : on prend le point 
delà courbe correspondant à la température t' ; puis le point de 
rencontre de la parallèle à Qy menée par ce point et de la paral- 
lèle à Ox répondant à la température t\ la cote de la radiante pas- 
sant par ce dernier point est le poids/? cherché. 

On peut se dispenser de tracer les parallèles à Oj', il suffit pour 
cela d'avoir un transparent sur lequel sont tracés deux axes rec- 
tangulaires. On n'a dès lors qu'à placer l'un de ces axes sur le bord 
inférieur AB de l'abaque de façon que le second passe par le point 
de la courbe des tensions répondant à la température t\ et de 
suivre celui-ci jusqu'à l'horizontale de la température t. 11 n'y a 
plus ensuite qu'à lire la cote de la radiante passant par le point 
ainsi obtenu. 

Par exemple, pour /= 3o°, t' '= i6°, l'axe vertical du transpa- 
rent occupant la position marquée en pointillé sur la PI. 1 , on a 
p= i3§ r . 

Abaque de l'équation trinôme du troisième degré. 
15. Prenons encore l'équation 



Ici, il est tout naturel de prendre comme équations (I, ) et (I 2 ) 

x = p, 

y = <i- 

Alors l'équation (I 3 ) est 

~ 3 -!- zx -h y = o, 

qui représente des droites. On obtient ainsi l'abaque bien connu 
de M. Lalanne {fig. 9) ; remarquons toutefois qu'on peut se borner 
à ne construire que la moitié de celui-ci, en ne considérant que les 
valeurs positives de z. Cela revient à construire un abaque qui ne 
donne que les racines positives de l'équation trinôme cubique. On 
n'a, en pratique, généralement besoin que de celles-là. Si l'on veut 
avoir les racines négatives, on n'a qu'à les calculer comme racines 



26 



CHAPITRE 11 



positives de la transformée en — #, qui s'obtient par le simple 
changement de q en — q. 

Nous venons de dire : en pratique. Les équations de ce type 
se rencontrent, en effet, dans certaines questions pratiques, notam- 
ment dans le calcul des grands barrages en maçonnerie par la belle 



Fii 



s o 



r§ 


3^k 


V?\ 


v Wv\i 


V - ^~n^ 


A_ ^ V^X X 


3 t A, S i_£ ^ 


v \ \ \ v ^i 


3 y V \ js^ ^ 


~sz _ _5 ^ ^ \ 


\ \ \ \ ~SH~ i\ 



.3-2.1 1 2 

Ec7i£,lZe .d& p 



3^562 



méthode de M. Delocre. Celle-ci va nous conduire à une remarque 
qui a son intérêt. 

x étant la hauteur en mètres sur laquelle les parois du barrage 
peuvent être maintenues verticales à partir du couronnement, 

a la largeur en mètres au couronnement, 

A le rapport de la pression limite admissible par mètre carré au 
poids d'un mètre cube de maçonnerie, 

B le rapport du poids d'un mètre cube d'eau à celui d'un mètre cube 
de maçonnerie, 

la formule de M. Delocre est 



a- 





a 2 


¥<■>■ 


1 

— 5 

2 


a 


I o , X = 


«2 

T r 


= '200, 


X 2 

— = ioo 
4 



QUELQUES EXEMPLES D'ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. 

lorsque 



Prenons 
auquel cas 



ce qui montre que la formule est applicable. Celle-ci devient 

X* -f- 2003? — 4000 — O. 

La grandeur des coefficients fait qu'elle échappe à l'application 
de l'abaque où nous supposons, par exemple, les axes gradués de 
— 10 à -|- io (ce qui suffit pour la plupart des cas de la pratique). 
Mais, si nous posons x = \ox K (ce qui revient à exprimer la hau- 
teur cherchée en décamètres), l'équation devient 

x\ -f- 1X\ — 4 = o. 

Elle rentre alors dans les limites de l'abaque qui donne (à une 
échelle quintuple de celle de la fig. g) x K = 1,18, et, par suite, 
a? = ii n, ,-8o. Si nous avons insisté sur ce point de détail, c'est 
qu'on a souvent occasion de recourir à des moyens analogues, 
c'est-à-dire à des changements d'unités pour les quantités sou- 
mises au calcul, de façon à ramener les nombres qui les expriment 
dans les limites de la graduation de l'abaque. 

Abaque des murs de soutènement pour un massif de terre profilé 
suivant son talus naturel. 

16. Voici maintenant un exemple inédit d'emploi des isoplè- 
thes circulaires. 



(') Dans son Mémoire, ce savant ingénieur dit qu'on doit faire usage de l'une 
ou l'autre des formules 

a 2 . a' 1 ; a 2 

X 3 -f- -jr- x — a -- = o . \ \ -z- 



suivant que 

4 a* 3a 2 l a 2 ^ „ 

Nous avons démontré (Annales des Ponts et Chaussées, p. 443: mars 1891 ) 
,. . . , a 1 X 2 a 2 X- __. 

que ces conditions pouvaient être remplacées par -^- > -j et ^ < y * I Nous ré- 
tablissons ici le sens des inégalités qui est fautif à l'endroit cité]. 

0. 2* 



2b CHAPITRE II. 

Supposons qu'un mur en maçonnerie à section rectangulaire 

soutienne un massif de terre profilé suivant son talus naturel. Le 

rapport K de la base à la hauteur de la section du mur est donné 

(voir Résistance des matériaux , de Collignon, 3 e édition, p. 669) 

par 

K = mk, 

m étant le coefficient de stabilité qu'on prend généralement entre 
- et 2, k une quantité déterminée par la formule 

k 2 -h kp sin cp cos cp — - cos 2 cp = o, 

où p est le rapport du poids du mètre cube de terre à celui du 
mètre cube de maçonnerie, cp l'angle du talus des terres avec l'ho- 
rizon. 

Cherchons à construire l'abaque de cette dernière équation. 

La méthode ordinaire du n° 2 conduirait à une série d'hyper- 
boles. En outre, l'équation, ne pouvant être ramenée au type (E 111 ) 
(n° 4) des équations à triple réglure, ne saurait être représentée 
par trois systèmes d'isoplèthes rectilignes. 

Nous allons faire voir qu'elle est représentable par deux sys- 
tèmes d'isoplèthes rectilignes et un d'isoplèthes circulaires. 

Posons, en effet, 

y =p sincp coscp, x—pcos' 2 o 
et éliminons successivement entre ces équations/? et cp ; il vient 

(Ii) '^ = tan S? 

et 

(I 2 ) a? 2 -hjK 2 — px = o. 

Si nous prenons ces équations pour équations (I<) et (I 2 ) (n° 1), 
l'équation (I 3 ), obtenue en portant dans l'équation proposée les 
valeurs de x et dey tirées de là, qui sont celles écrites ci-dessus, 
sera 

l 3 ) /v 2 +Ay-^ = o. 

On voit que les isoplèthes (cp) et (k), fournies respectivement 



QUELQUES EXEMPLES D 'ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ÏÇ) 

par les équations (I,) et (I3), sont des droites, les isoplèthes (p) 
fournies par l'équation ( 1 2 ) ? des cercles. 

Toutes ces isoplèthes sont extrêmement simples à construire. 
Pour des valeurs particulières de cp, àep et de /. : i" l'isoplèthe (cp) 
est la droite issue de l'origine, cpii fait avec l'axe des x l'angle '^; 
2° l'isoplèthe (p) est le cercle de rayon p louchant Taxe des y à 
l'origine, dont le centre est, par suite, situé sur Taxe des x ; 3° l'iso- 
plèthe (Â) est la droite coupant l'axe des y au point don! l'or- 
donnée est — k : et ayant un coefficient angulaire égal à — ;• 

L'abaque ainsi obtenu (PL IV) se construit très rapidement. 
On le limite à la portion correspondant aux limites de variation 
pratique des quantités p (de 0,4 à 1) et cp (de 20 à 5o°) (' ). \ 
titre d'exemple, pour p = o, (35, cp = /\o'\ on a k = o, i\. 

Nous avons tracé les isoplèthes (cp) en pointillé, parce qu'on 
peut se dispenser de les tracer sur l'abaque. Si, en effet, on marque 
sur le cercle extérieur de l'abaque la graduation correspondant 
à cp, il suffit de tendre un fil entre l'origine et le point co de cette 
graduation pour remplacer la droite non tracée. Cette manière de 
faire est même préférable au point de vue de la précision de l'in- 
terpolation. 



(') La partie utile de l'abaque a été disposée dans le cadre de la PL IV de 
façon que l'isoplèthe cp = 20 soit parallèle au bord inférieur de ce cadre. L'axe 
des x, qui passe d'ailleurs par le point de convergence des isoplèthes (cp), ferait 
donc un angle de 20 avec le bord inférieur du cadre, en dessous de ce bord. 



32 



CHAPITRE III. 



bien simple permet de maintenir intacte l'orientation d'un des 
axes de l'indicateur et, par suite, celle des deux autres, h&fig. i i , 
où l'on a pointillé les axes de l'indicateur, pour une de ses posi- 
tions, montre l'aspect général de l'abaque ainsi obtenu. 

Déplacement et fractionnement des échelles. 

19. M. Lallemand a fait remarquer qu'un tel abaque présente 
la précieuse propriété du fractionnement. Voici en quoi consiste 
celle-ci : 

Observons d'abord que les échelles linéaires définies au numéro 
précédent peuvent être déplacées, en conservant leur direction, 
suivant le sens de l'axe correspondant de l'indicateur. Cette opé- 
ration peut même n'être pratiquée que pour une de leurs parties 
seulement. 

Ainsi, soient ( fi g. 12) A A", BB", OC" les échelles données, les 



Fis. 12. 



^ C" 




points A, B, C, d'une part, A", B", C", de l'autre, étant des points 
correspondants. O et O" sont les positions correspondantes du 
centre de l'indicateur. 

Prenons trois points correspondants intermédiaires A/, B', C, 
pour lesquels le centre de l'indicateur est en O'. Nous pouvons 
reporteries fragments d'échelles A' A", B'B", C'C'en A;A;, B' B;, 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 33 

CJjCJ, puis déplacer toute la figure O'O ,, A' Q k" B , i) BlC , G" (i ^en 
conservant son orientation en 0,0'jA', ... C' ( . Celle nouvelle! 
figure, jointe à la partie restante des anciennes échelles, équivaut 
exactement à l'ancien abaque, tout en occupant une place beaucoup 
plus restreinte. De là l'utilité du fractionnement qui permet, répété 
autant de fois qu'il est nécessaire, de condenser L'abaque dans un 
espace aussi restreint qu'on veut. 

Il suffît de réfléchir un instant pour s'apercevoir que ce procédé 
permet de faire tenir l'abaque de toute équation à triple réglure 
parallèle, à l'intérieur d'un triangle donné. 

Il y a lieu de remarquer qu'on est libre, à chaque fractionnement, 
de prendre arbitrairement deux des nouvelles origines A', et B' r 
La troisième, C, , doit alors se trouver sur le troisième axe de 
l'indicateur lorsque les deux premiers ont été amenés respective- 
ment sur A', et B', . 



Forme des équations à triple réglure parallèle. 

20. Voyons quelle est la forme générale des équations ainsi re- 
présentables, c'est-à-dire à triple réglure parallèle. 

Chacun des cours d'isoplèthes étant engendré par une droite de 
direction constante, les équations (I t ), (lj), (I3) sont ici 

y = mx +/i(ce), 
y — m' x -h ç>i( (3), 
7 = i»*3?-H<h(-Y). 

Eliminons # et y entre ces équations. Nous avons, pour l'équa- 
tion en a, (3, y, 

(m" — m')fi(a)-h( m — m") cpi (^)-h(m' — m) ^iCy) = ° î 

c'est-à-dire, puisque m, m', m n sont des constantes, que la forme 
cherchée peut s'écrire 

t(T)=/(«) + «p(P). 

Il est tout naturel, pour représenter une telle équation, de poser 
pour équations (Ij) et (I 2 ) 

(Ii) *=/(«), 

(ii) r = ?(P)- 

o. 3* 



3^ CHAPITRE III. 

Il vient alors pour équation (I 3 ) 

(I 3 ) ae-hjr = ty(t). 

Les isoplèthes (a) sont des parallèles à Oy, les isoplèthes ( [3) des 
parallèles à Ox, les isoplèthes (y) des parallèles à la bissectrice de 
l'angle extérieur des axes Ox et Oy. Nous remplacerons chacun de 
ces cours d'isoplèthes par des échelles transversales, ainsi qu'il a 
été expliqué au n° 18. Pour le premier {fi g. i3), nous choisirons 

Fis. i3. 




naturellement l'axe des x dont la graduation, d'après l'équation (I,), 
s'obtiendra en inscrivant les cotes o, 1,2,... à l'extrémité des ab- 
scisses/^), /(i), /( 2). Pour le deuxième, ce sera l'axe des j' portant 
les graduations o, 1,2,... aux extrémités des ordonnées <p(o), ^(i), 
©(2), Pour le troisième, nous prendrons comme support de l'é- 
chelle la bissectrice O^ de l'angle intérieur des axes xOy. Voyons 
comment s'effectuera la graduation de cette échelle. Si l'isoplèthe (y) 

OG 
la coupe au point G, les coordonnées de celui-ci étant x =y = — , 

l'équation (I 3 ) donne 



ou 



0C/2 = iKy) 

y/2 



La graduation de l'échelle Oz est ainsi définie. 

Nous pourrons d'ailleurs user de la faculté que nous avons de 
fractionner et de déplacer les échelles, ainsi qu'il a été ditaun 19. 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES BEXAGONAUX. 35 

En particulier, si une des fondions f (a), <p(P), '\> (y) croît jusqu'à 
une certaine valeur de la variable pour décroître ensuite, afin d'é- 
viter que l'échelle ne revienne sur elle-même à partir du point de 
celle-ci correspondant au maximum, on reportera l'échelle sur un 
support parallèle au premier. Ainsi, sur la fig. i3, on a supposé 
que la fonction y (a), croissante jusqu'à a : j, décroissait à partir 
de là. 

On pourra aussi prendre sur Ox et Oy, pour les échelles de y. 
et de fi, des origines autres que O. Il suffira, d'après ce qui a été 
vu au n° 19, dernier alinéa, que l'origine sur Oz soit telle que les 
trois origines soient des points eorrespondants, c'est-à-dire des 
points sur lesquels se placent respectivement et simultanément 
les trois axes de l'indicateur. 

Principe des abaques hexagonaux. 

21. M. Lallemand, afin d'avoir sur O^ les valeurs de '}(y) à la 
même échelle que celles de /(a) et de cp ([3) sur Ox et Oy, a eu la 
très heureuse idée de prendre les axes Ox, Oy faisant entre eux 
un angle de 120 . En effet, les axes Ox et Oy continuant à être 

Fig. 14. 




gradués en segments proportionnels aux valeurs de/(a) et de ç»(p), 
cherchons quelle sera la graduation de O z. Les équations (I|), (I2) 
et (I 3 ) sont les mêmes qu'au numéro précédent, les coordonnées 
étant ici les distances à l'origine O des pieds des perpendiculaires 
ahaissées du point considéré sur les axes Ox et Oy. L'isoplèthe (y >, 
ayant pour équation 



36 CHAPITRE III. 

si elle coupe Oz au point G (fig. i4)> ^ es coordonnées de ce point 

OC 
étant x --y = — ■> on a 

or 

2— = OC = ù(v). 

2 ' ' 

Laxe O^ se trouve donc gradué en segments proportionnels aux 
valeurs de ^(ï)' l'échelle étant la même que pour les axes Ox 
et Oy. 

On voit que la propriété précédente peut s'énoncer ainsi : La 
projection d'un segment de droite sur la bissectrice d'un angle 
de 120" est égale à la somme des projections de ce segment sur 
les côtés de cet angle. 

C'est en réalité cette propriété, d'ailleurs bien facile à démon- 
trer directement, puisqu'elle résulte de l'identité trigonomé trique 

cos(cd -+- 6o°) -h cos(6o° — w) = 2 cos6o° cosw = costo, 

que M. Lallemand a prise comme point de départ de la théorie de 
ses abaques. 

11 nous a paru préférable, au point de vue d'un exposé d'en- 
semble, d'adopter la marche précédente, qui a l'avantage de ratta- 
cher les abaques du système Lallemand au principe fondamental 
que nous avons pris comme point de départ et d'où l'on peut con- 
sidérer que découle la théorie de tous les abaques, sans distinction 
de genre. 

Ici encore nous ferons observer, comme au numéro précédent, 
que, par application de ce qui a été dit au n° 19, on peut déplacer 
et fractionner les échelles de façon à donner à l'abaque la disposi- 
tion la plus avantageuse. C'est même pour ce cas spécial que 
M. Lallemand a imaginé cet artifice, auquel notre exposé du n° 19 
a donné un peu plus de généralité. 

Les abaques ainsi construits ont reçu le nom d'abaques hexa- 
gonaux, en raison de ce que les échelles d'une part, les axes de 
l'indicateur de l'autre, sont parallèles aux diagonales d'un hexa- 
gone régulier. 

22. Il est à peine besoin d'ajouter que, si l'équation proposée a 
la forme 

<Kï) = /(«)?(P)i 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 3~ 

11 ramène à la forme requise pour l'application du procède'- en 
renanties logarithmes des deux membres, ee qui donne 



log<|;(Y)= l °g/( a ) + I og { P(P)- 



Abaque hexagonal de multiplication et de division. 

23. Gomme exemple d'applicalion ('), voici, dans le système de 
M. Lallemand, l'abaque de multiplication et de division (fig. i5) 



Fis. i5. 




M 



B!i 



H-t 




équivalent à l'abaque Lalanne du n° 12, c'est-à-dire traduisant l'é- 
nuation 



logy = loga + logp. 



(') Les abaques construits par M. Lallemand, dans son système, sont fort nom- 
breux et s'appliquent à des formules d'un usage journalier intéressant principa- 
lement le Service du Nivellement général de la France. Ne pouvant, dans le 
présent exposé de principes, multiplier outre mesure les exemples, nous ne men- 
tionnons qu'un nombre restreint de ces abaques. Le lecteur en trouvera d'autres 
dans les Ouvrages suivants : 

Lallemand, Nivellement de haute précision (Encycl. des Trav. publics). 

Lallemand, Annexe II à la Notice sur le Nivellement gênerai de la France 



38 CHAPITRE III. 

Les échelles a et (3 ont été fractionnées au point coté 3. Les por- 
tions conservées de ces échelles étant désignées par la lettre A, 
leurs prolongements ont été transportés dans les positions dési- 
gnées par la lettre B, l'échelle B supérieure prolongeant l'échelle A 
inférieure, et inversement. 

Le point de l'échelle y correspondant au point de fractionne- 
ment des deux premières échelles, c'est-à-dire le point 9, se trouve 
ramené dans la position qu'il occupe sur l'échelle BB. 

Il suffit de choisir celle-ci a priori, de façon que le point 10 
de l'échelle BB coïncide avec le point 1 de l'échelle AA pour que 
ces deux échelles coïncident dans toute leur étendue, les cotes de 
la première se déduisant de celles de la seconde au moyen d'une 
simple multiplication par 10, c'est-à-dire par la seule adjonction 
d'un zéro. Cela résulte de ce que 

log(io x a) = log 10 H- loga. 

On peut aussi tracer l'échelle AB pour le cas où l'on accouplerait 
un point d'une des échelles A avec un point d'une des échelles B. 

Échelles centrales additionnelles. 

24. Supposons qu'une quantité y soit donnée en fonction de 
deux autres, a et (3, par une équation de la forme 

Y=*/(«MP)+F(«,P) 

le terme F(a, (3) ne devant d'ailleurs figurer dans le second membre 
que lorsque a et [3 sont compris entre certaines limites, et étant 
dit, pour cette raison, terme complémentaire . 

Décomposons alors la valeur dey en deux parties, y' et y", telles 
que 

Y' = /(«)?(P)> Y"=F(a,(3). 



{Notices publiées par le Ministère des Travaux publics, à l'occasion de l'Exposi- 
lion universelle de 1889. Volume : Mines, Documents divers, p. 3o8). 

Collet, Traité théorique et pratique de la régulation et de la compensa- 
tion des compas. Paris, Ghallamel. 

Ajoutons que, pour la construction de ces abaques, M. Lallemand a été très habi- 
lement secondé par les dessinateurs de son service, notamment par MM. Prévôt 
et Renard. 



EQUATIONS A TRIPLE RÉ(ÎLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 3g 

Nous pourrons construire séparément les abaques de ces deux 
équations. Il nous suffira, dès lors, les valeurs de y' et de y" nous 
étant fournies par ceux-ci, de faire la somme des résultats ainsi 
obtenus. 

La première de ces équations, qu'on peut écrire 

IogY'=log/(«) + log<p(P), 

étant à triple réglure parallèle, donnera lieu à un abaque hexagonal, 
c'est-à-dire (les axes étant inclinés à 120 l'un sur l'autre, et les 
coordonnées étant supposées être les distances à l'origine des pieds 
des perpendiculaires abaissées des points du plan sur les axes) 
qu'on prendra, pour la représenter, comme isoplèthes (I f ) et (I2), 

a? = log/(a) et y= logcp(P). 

Conservons les mêmes droites qui, d'ailleurs, n'ont pas besoin 
d'être construites, grâce à l'artifice de l'indicateur transparent 
(n° 18), comme isoplèthes (L) et (T 2 ) de la seconde équation. Les 
troisièmes isoplèthes (y") seront généralement, dans ce cas, non 
plus des droites parallèles comme pour y', mais des courbes dont 
l'équation, en supposant que/, et cp, soient les fonctions inverses 
des fonctions y* et cp, peut s'écrire 

Y"=F[/ 1 (io*),<? l (ior)]. 

Supposons ces isoplèthes construites dans la région E corres- 
pondant aux valeurs comprises entre les limites pour lesquelles 
y" doit s'ajouter à y', et superposons cet abaque à celui de y', en 
faisant coïncider, d'une part, les échelles (a) , de l'autre les 
échelles ( (3) de ces abaques, qui sont les mêmes par hypothèse. 
Sur l'abaque double ainsi obtenu {fig* 16), les valeurs de y' sont 
données par la troisième échelle de l'abaque hexagonal primitive- 
ment construit, celles de y" par les cotes des isoplèthes tracées en 
second lieu. 

Les deux premiers axes de l'indicateur transparent passant dès 
lors par les points (a) et (p) des deux premières échelles, le troi- 
sième passe par le point (y') de la troisième. Si, en outre, le 
centre de l'indicateur tombe dans la région E ci-dessus définie, la 
cote de Tisoplèthe sur laquelle il se trouve fait connaître y". On 
n'a plus qu'à effectuer la somme y' -h y r/ . 



4o 



CHAPITRE III. 



Ainsi, dans l'exemple représenté en pointillé sur la fig. j(i, 
pour 



on a 



et par suite 



i— 4,6, y" = 2 > 
Y -6,6. 
L'aire E, avec ses isoplèthes, a reçu de M. Lallemand, à qui est 

Fig. 16. 




lyO 



dû cet. artifice, le nom à? échelle centrale additionnelle, nom 
qui se justifie par ce fait que la lecture se fait sur cette échelle au 
moyen du centre de l'indicateur. 

Ainsi, d'une part, on est averti des cas où il y a lieu de tenir 
compte du terme complémentaire, par cela seul que le centre de 
l'indicateur tombe à l'intérieur de l'échelle centrale E, et la valeur 
même de ce terme complémentaire est fournie par la cote de l'iso- 
plèthe sur laquelle se trouve le centre. 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. \ i 



Abaques de remblai et de déblai. 



25. A litre d'application de ce qui précède, dous feron 
naître les abaques construits par M. Lallcmand pour le calcul ( 
profils de remblai et de déblai. 



•on- 



i° Remblai. — On dit qu'un demi-profil est en remblai lorsque 

Fig. i 7 . 




l'arête extérieure de ce demi-profil est en remblai {fig. 17 et 18 ). 
Si nous désignons par 

x la déclivité transversale (tangente trigonomélrique de l'angle w 
d'inclinaison sur l'horizon) du terrain naturel, prise avec le 
signe -+- quand le terrain s'élève en rampe à partir de l'axe 
dans le demi-profil considéré {fig- '20 et 21), et avec le signe — 
quand il est en pente ( { ) {fig. 17 et 18); 

y la cote sur l'axe OK prise avec le signe -f- quand elle est en 
déblai, avec le signe — quand elle est en remblai ( 2 ); 

h la demi-largeur OC de la plate-forme; 



(') Cette convention revient à prendre toujours comme sens positif celui de 
l'axe vers l'arête extérieure du demi-profil considéré, soit celui de gauche à 
droite pour les demi-profils à droite de l'axe, celui de droite à gauche pour les 
demi-profils à gauche. 

( 2 ) Cette convention revient à prendre toujours l'origine des cotes au niveau 
<le la plate-forme. 



|8 CHAPITRE III. 

Les isoplèthes (I,) et (L) seront d'ailleurs, pour l'une comm< 



our l'autre de ces équations 



il,) X = — l g2(*tf— X), 

I h) Y = 2log[(éH-0^-Hj]. 

Les explications de détail étant, pour le fond, les mêmes dans 
ce cas que dans le précédent, nous y glisserons plus rapidement. 
Pour x <C o 5 l'abaque est limité à la ligne pour laquelle 

y = — bx, 

ligne dont l'équation s'obtienten éliminante cl y entre cette der- 
nière et les équations (I, ) et (1 2 ) ci-dessus. Il vient ainsi 

-; , » io~ x 

10 - — (((/= b - 

2 

Cette courbe, dans sa portion utile, diffère insensiblement en 
pratique d'une droite parallèle à Taxe des y. Elle passe d'ailleurs 
par le point correspondant à x = o, y = o, car pour ce point 

X = — logafrf, Y = 2log(6 -+- l)t d . 

Quant à la partie de l'abaque correspondant ài>o, elle est 
limitée à la ligne pour laquelle 

dont l'équation est 

102 — (b + l)t d = — h—(b + l— j-)(t d — ^- ) 



I0 2 = [b-hl 



h\ 10- x 



ou encore 



f t { J 2 



h -*+*l{> + '-ï) 



C'est une droite parallèle à l'axe des y. Quant à l'échelle cen- 
trale qui correspond, pour x >- o, aux valeurs de y >► o, elle est 
comprise entre la droite qui vient d'être tracée et l'isoplèthe y = o. 

Les isoplèthes (D") tracées sur cette échelle centrale, obtenues 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE PARALLÈLE. ABAQUES HEXAGONAUX. 49 

comme les isoplèllies (IV) du cas précédent, oui pour équation 

•itd — io — x 

L'emploi de l'abaque (PL III) ne diffère pas de celui du cas 
précédent. 

Deux des axes de l'indicateur passant respectivement par les 
points (x) et (y) des échelles correspondantes, le troisième axe 
donne sur la troisième échelle la valeur de D'. Si le centre de l'in- 
dicateur est extérieur à l'échelle centrale, on a D = D'. S'il tombe 
à l'intérieur de cette échelle, la cote de l'isoplèthe sur laquelle il 
se trouve fait connaître D", et on a D = D'-f- D /; . Dans ce dernier 
cas, il y a remblai sur l'axe, et l'aire du remblai est précisément D /r . 

Si le centre de l'abaque tombe en dehors des limites ci-dessus 
définies, c'est-à-dire dans la région dont le bord est marqué par 
des hachures, l'abaque ne s'applique plus : on est dans le cas delà 
formule des remblais. 

Ainsi donc, x et y étant donnés pour un certain demi-profil, 
on n'a pas à s'inquiéter de savoir si l'on est en déblai ou en remblai, 
dans un cas normal ou dans un cas mixte. 

Avec ces valeurs de x et de^' on entre dans l'un ou l'autre des 
deux abaques, dans celui des remblais, par exemple. Si le centre 
de l'indicateur tombe dans la partie utile de cet abaque, c'est qu'on 
est bien en remblai; sinon (c'est-à-dire s'il tombe dans la région 
marquée par les hachures) c'est qu'on est en déblai, et on se 
transporte dans l'autre abaque. Quant aux cas mixtes, on en est 
averti par le fait que le centre de l'indicateur tombe à l'intérieur 
de l'échelle centrale. 

Les abaques des PL II et III montrent l'application des règles 
précédentes à un projet de route établi avec les éléments ci-après : 

b = 5 m , Z = i m ,5o, A = o' n ,5o, *d = i, t r —-' 

En outre, x est supposé varier de — o,5 à -f- o, 5 et y de 
— ■ ao m (cote sur l'axe en remblai) à -+- 20™ (cote sur l'axe en 
déblai). 

L'échelle y de l'abaque des remblais (PL 11) a été fractionnée 
(n° 19) au pointy = — 4- U s'en est suivi pour R/ une seconde 
o. • \ 



5o CHAPITRE III. — ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLLRE PARALLÈLE, ETC. 

échelle correspondante. On a souligné la graduation des deux 
échelles supplémentaires pour distinguer celles-ci des échelles pri- 
mitives. 

En outre, afin de rendre impossible toute erreur relative au 
signe de x et de y, on a, pour x, distingué l'échelle des pentes de 
celle des rampes; pour y, celle des cotes en remblai sur Taxe de 
celle des cotes en déblai. 

Exemple d'application (indiqué en pointillé sur la PL II) : 
Le terrain naturel a une pente de o, 4- La cote sur l'axe est de 
o,qo en déblai. 

L'abaque de remblai donne 

R'=2, 7 , R*=i. 

11 y a donc i 11 " 1 de déblai sur l'axe et 3 raq ,7 de remblai. 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, ETC. 5 i 



CHAPITRE IV. 

ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE. ABAQUES A POINTS 

ISOPLËTIIES. 



26. L'artifice des abaques hexagonaux n'est applicable qu'aux 
équations à triple réglure parallèle. Les applications en sont, il csl 
vrai, extrêmement nombreuses; il n'y en a pas moins un intérêl 
sérieux à indiquer le principe suivant qui, dérivant d'ailleurs d'un 
tout autre ordre d'idées, permet de remplacer les systèmes d'iso- 
plèthes par de simples échelles (remplacement dont les avantage 
ont été signalés au n° 17), non seulement pour les équations à triple 
réglure parallèle, mais pour celles à triple réglure quelconque. 

Disons tout de suite que, bien que ce nouveau principe soit plus 
général, celui de M. Lallemand devra ordinairement lui être préféré 
dans le cas de la triple réglure parallèle, à cause de la possibilité si 
précieuse du fractionnement des abaques qui n'existe qu'a\ec ce 
dernier. 

C'est assez d'ailleurs, pour affirmer l'utilité de la méthode des 
points isoplèthes, du champ des équations à triple réglure 
quelconque. 

Principe de la méthode des points isoplèthes ( ' ). 

27. Reportons-nous donc aun°-4. Nous avons vu là que, lorsque 
l'équation revêt la forme (E' M ), dont (E") et (E IV ) ne sont que des 
cas particuliers, cette équation est représentable par trois cours 



( ! ) C'est en 1884 que nous avons publié, pour la première fois, à propos d'un 
exemple particulier, le principe de la méthode des points isoplètlies (Annales 
des Ponts et Chaussées, 2 e sem., p. 53i). Nous l'avons depuis énoncé dans toute 
sa généralité (Génie civil, t. XVII, p. 3\3). 



o4 CHAPITRE IV. 

Transformation des abaques à droites isoplèthes en abaques 
à points isoplèthes. 

29. Rien de plus simple, lorsqu'on prend un abaque à trois sys- 
tèmes de droites isoplèthes, que de construire l'abaque corrélatif 
à trois systèmes de points isoplèthes. 

Il suffira de prendre les coordonnées 

(x—a,y = b) et (x = a' , y — b' ) 

de deux points appartenant à chacune des droites du premier 
abaque. Le point correspondant sera celui où se rencontrent les 
droites dont les coordonnées, dans le système parallèle choisi, se- 
lon l 

( u = a, v — b ) et ( u = a', v = b'). 

Soit, par exemple, la droite PQ (ftg. 23). 

Fie. 23. 



\^ 



Pu- 




Au point P(# =p,y~o) correspond la droite BM (u=p, c = o); 
au point Q(# = o, y = q), la droite AN(zz = o, v= q). Donc le 
point C où se croisent BM et AN est corrélatif de la droite PQ qui 
joint les points P et Q. 

Abaque de l'équation trinôme du troisième degré. 

30. Comme exemple d'application, nous donnons ici (fig* ^4 
et PL VIII, courbe cotée o) l'abaque pour la résolution de 
l'équation 

z 3 +-pz-i-q = o (i), 



(') Nous avons fait connaître cet abaque dans notre Mémoire de 1884 {Annales 
des Ponts et Chaussées, 2 e semestre, PI. XL, fig. 3). Nous l'avons reproduit 
dans notre brochure : Coordonnées parallèles et axiales. 



TC. 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, 

que nous avons obtenu en transformant, comme il vient d'être dit. 
l'abaque décrit au n° 15 et représenté par la fig. (). Il ne donne, 
comme celui-ci, que les racines positives de l'équation. Les 
racines négatives seraient données par les points de la courbe ex- 



10 






9 






8 






: 






6 






S 






<* 






3 











'^ 


_3. 






_<É. 
-5 




2.s/ 


_6 

_7 . 




/ Ô 

3 f 


_8. 






_9 
-10. 


3,5 





-2^ 



-5 
. -J6 

.. _7 
8 



térienrs aux axes. On les obtient sur l'abaque réduit comme racines 

positives de l'équation 

z :i pz — q = o. 

De même qu'avec l'abaque du n° 15, il suffisait de prendre les 
cotes des droites isoplèthes (s) passant parle point x=p,y = q, 
il suffira ici de prendre les cotes des points isoplèthes (z) situés 
sur la droite u=p, v = q. 

On voit combien l'emploi de ce système est simple. Prenons, 
comme exemple, l'équation 



Joignant par une droite le point 2 de l'axe des p au point — 6 
de l'axe des q, nous obtenons sur la courbe le point 1, /\6 qni fait 
connaître la racine cherchée (*). 



(') Cette valeur a été obtenue, en réalité, sur un abaque dont la fig. >\ d esl 
que la réduction au j. 

O. i* 



56 



CHAPITRE IV. 



Pour n'avoir pas à tracer de ligne sur l'abaque, il suffira de faire 
usage d'uu transparent sur lequel sera marqué ud trait rectiligne 
on, mieux encore, d'un fil ou d'un crin qu'on tendra entre les 
points à joindre par une droite (* ). 

31. Il est bien évident que l'emploi des coordonnées parallèles 
ne servira pas seulement à transformer des abaques déjà construits 
au moyen des coordonnées cartésiennes. 

Une équation à triple réglure étant donnée, on pourra, par 
l'application directe des coordonnées parallèles, obtenir immé- 
diatement l'abaque à points isoplèthes correspondant. 

Nous allons en prendre un exemple, qui nous fournira l'occasion 
de plusieurs remarques utiles. 

Abaque du fruit intérieur du mur de soutènement 
d'une terrasse horizontale. 

32. Supposons qu'on ait calculé le profil rectangulaire ABGD 
du mur de soutènement d'une terrasse horizontale et qu'on veuille 

Fis. a5. 




D N 



lui substituer un profil de même résistance à fruit intérieur MBCIM. 



(') Ce dernier procédé a, sur le précédent, au point de vue pratique, une in- 
contestable supériorité qui tient à ceci : l'axe du transparent ayant été mis 
d'abord sur l'un tics deux points à joindre, lorsqu'on l'amènera sur l'autre, on fera 
généralement varier un peu sa position aux environs du premier. Il faudra l'y 
ramener par un nouveau petit déplacement; de là quelques tâtonnements que 
l'emploi du fil permet d'éviter. En effet, le fil étant posé sur l'un des deux points, 
on l'y maintient avec l'ongle, tandis qu'on amène l'autre extrémité sur le second 
point. Il n'y a, de cette façon, aucune bésitation dans la lecture. 



ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, ETC. V 

Soir {fi g. 25) 
/; le rapport du poids de i mc de terre à celui de i m< de maçon- 



nerie, 

. RM . AP 

/= BA' //= AÎ3 



On se donne /; p est connu; // s'en déduit par la formule 

n + /|tl -i ( , +/))i -! | -"(' + v ! = oiu 

Cette équation est du type (E IV ) (n° 4). Posons donc, en em- 
ployant les coordonnées parallèles de droites u et v, au lieu des 
coordonnées de points x ely, 

J(H-jD) (l-/)(l + 2/)) 

U — - ^— > P = r— - ; ' 

I -h / 3(1-4-/) 

Eliminant successivement/? et / entre ces deux équations, on a 
pour les équations (I,) et (1 2 ) des isoplèthes (/) et (p) 

( Il ) l'j/(/ + l)+W2(/ 2 -l)-/(/-I)=0, 

( 1 2 ) V 3 (p -+- I ) -f- u{ ip H- i) — (/>-+- 1) ( ip H- 1) = o. 

Quant à l'équation (I 3 ) (qui résulte de l'élimination de / et de p 
entre ces deux équations, ou les deux précédentes, et l'équation 
donnée), elle est ici 

( f 3 ) hu H- v — h 1 — o. 

Pratiquement, 

/ varie entre o,5 et i, 

p » o ,4 et j , 

h » 0,7 et i. 

11 suffît donc, entre ces limites, de faire varier /, p et h respec- 
tivement dans les équations (I|), (I2) et (I3), en faisant croître 
leurs valeurs, par exemple, de o,o5 en o,o5, et de marquer le< 
points correspondants, l'abaque se trouve ainsi construit. 



(') Massau, loc. cit., n° 298. L'épaisseur du mur à section rectangulaire esl 
donnée par e = tang - t / — i h o étant l'angle du talus naturel des terres, m le 

coefficient de stabilité qu'on se donne. Cette formule est facile à traduire en 
abaque hexagonal. 



64 CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS A TRIPLE RÉGLURE QUELCONQUE, ETC. 

tel artifice n'est pas applicable avec les abaques à points iso- 
plèthes, attendu qu'ici le mode de liaison entre points correspon- 
dants est constitué par le fait de se trouver en ligne droite et 
qu'une déformation arbitraire aurait pour effet d'altérer toutes les 
droites du plan. 



ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. EMPLOI DES ÉCHELLES BINAIRES. 65 



CHAPITRE V. 

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. EMPLOI DES ÉCHELLES 

BINAIRES. 



37. Il est facile de voir que le principe général utilisé pour la 
représentation des équations à trois variables ne peut pas être 
étendu à des équations à un plus grand nombre de variables. Si, en 
effet, nous introduisons une quatrième variable ô dans l'une des 
équations (Ii), (L), (I3) du n° 1, par exemple dans la première, 
nous voyons qu'à chaque valeur de correspond un système 
d'isoplèthes (a). La superposition de ces divers systèmes d'iso- 
plèthes (a) n'étant généralement pas possible sur un même tableau, 
il faut renoncer à ce mode de représentation. Nous ferons voir 
plus loin que ce principe est néanmoins applicable dans certaines 
circonstances (n° 45). Mais nous allons indiquer auparavant quel- 
ques artifices particuliers propres à conduire à la représentation 
d'équations à plus de trois variables, de types se rencontrant fré- 
quemment dans la pratique. 

Abaques hexagonaux à échelles binaires. 

38. Le plus fécond de ces artifices est celui des échelles bi- 
naires, imaginé par M. Lallemand. 

Nous avons vu, au n° 7, que les valeurs de toute fonction de 
deux variables F(a, (3) pouvaient être obtenues, au moyen de 
parallèles à une direction fixe, sous forme de segments portés sur 
un certain axe, à partir d'une origine fixe O. Si la parallèle à la 
direction fixe menée par le point commun aux isoplèthes (a) el(3) 
coupe l'axe en question au point A, on a 

OA =a = F(a, p). 

O. 



72 CHAPITRE V. 

F(e, s'), nous voyons que nous avons la représentation de l'équa- 
tion 

/(a, a') + «p(p, p') + *(T, Y') + X(«. 8 ') = F ( £ > «O- 

La fonction du second membre pouvant être, par un simple 
changement de signe, reportée dans le premier, et le nombre des 
termes pouvant être, par la répétition du procédé sus-indiqué, 
pris tel que Ton veut, on peut dire que la méthode en question 
permet de représenter toute équation dont le premier membre, 
égalé à o, se décompose en une somme de fonctions ne conte- 
nant chacune pas plus de deux variables et que, pour cette 
raison, on peut appeler des éléments binaires. 

Si l'équation est formée par l'égalité à une constante d'un produit 
d'éléments binaires, elle se ramène au cas précédent par une simple 
transformation logarithmique. 

Généralisation de la multiplication graphique. 

41. On a ainsi un champ très vaste d'équations à un nombre 
quelconque de variables, représentables sur un plan. Mais M. Lal- 
lemand a été encore plus loin, grâce à un nouvel artifice dont nous 
allons maintenant parler et qui lui a permis de représenter toute 
équation dont chacun des membres se décompose en une somme 
de produits d' éléments binaires, équation qui ne saurait, par 
transformation logarithmique, être ramenée au cas précédent. 

Accolons à l'axe Ox {fig. 32) une échelle binaire E, du type 
défini au n° 7. Elle nous donnera sur cet axe, au moyen de paral- 
lèles à OjKj les valeurs d'une fonction de deux variables <p(a, (3). 

De même, une échelle binaire à radiantes E 2 , du type défini 
au n° 8, nous donnera les valeurs d'une autre fonction de deux va- 
riables <j;(y, 8) comme coefficients angulaires des droites issues de 
l'origine et passant par les points de rencontre des isoplèthes (y) 
et (3). On peut d'ailleurs toujours faire en sorte que le bord gauche 
de E 2 prolonge le bord droit de E { . S'il n'en était pas ainsi, il suf- 
firait de prendre la figure homo thé tique de E 2 par rapport au 
point O, de façon à satisfaire à cette condition. 

Prenons le point qui est à la rencontre de la parallèle à Oy, me- 
née par le point de rencontre des isoplèthes (a) et ((3) de l'échelle E, 
avec la droite joignant le point O au point de rencontre des iso- 



LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS, 

QUAI DES GRANBS-AUGU8TINS, 55, V PARIS. 



Envoi franco dans toute l'Union postale contre mandat de poste ou valeur UU I .ms. 



ÉLÉMENTS 

DE 

CALCUL INFINITÉSIMAL 

Par M. DUHAMEL, 

Membre de l'Institut. 
QUATRIÈME ÉDITION, 

REVIE ET ANNOTER 

Par M. J. BERTRAND, 

De [Académie française, 
Sicrétaire perpétuel de 1 Académie des Science?. 



Deux volumes in-8, avec planches; 1886-1887. — Prix : 15 fr. 



Avertissement de la quatrième édition. 

On a plus d'une fois exprimé le regret qu'un Livre aussi justement 
classique, et non moins utile aux maîtres qu'aux élèves, laissât complète- 
ment de côté plusieurs chapitres importants, imposés aujourd'hui par les 
progrès de la Science dans l'enseignement de nos écoles. Il est devenu 
impossible, par exemple, dans un cours d'Analyse infinitésimale, de ne 
pas introduire les éléments au moins de la théorie des fonctions elliptiques 
et les principes généraux relatifs aux fonctions d'une variable imaginaire. 

Préoccupé, dans les dernières années de sa vie, d'études et de méditations 
d'un tout autre ordre, M. Duhamel, à qui cette lacune a souvent été signalée, 
n'a pu trouver le loisir de la combler, et ses papiers ne contiennent aucune 
étude sur cette partie de la Science. Sans prétendre ici suppléer aux pages 
excellentes et profondes qu'il aurait pu ajouter à son Livre, nous avons 
espéré qu'on trouverait avec plaisir l'exposition des principes aujourd'hui 
élémentaires et classiques dans l'enseignement du Calcul différentiel et du 
Calcul intégral. 

Les Notes que l'on trouve à la fin du Tome 1 er et du Tome II sont extraites, 
avec de légères modifications, de mon Traité de Calcul différentiel et 
intégral; leur lecture sera facile, je l'espère, à ceux qui auront lu et 
compris le Livre de M. Duhamel. J. Bertrand. 

Préface de la deuxième édition. 

La marche suivie dans la première Partie de cet Ouvrage est fort diffé- 
rente de celle qu'ont adoptée les divers auteurs qui ont écrit sur le même 
sujet. Elle ne se rapporte précisément à aucun enseignement existant, mais 
à l'enseignement tel que je crois qu'il doit être. L'ordre suivant lequel les 
diverses parties d'une science doivent être présentées, du moins quant à 
ce qu'elles ont de général et de caractéristique, est presque toujours l'ordre 
même suivant lequel elles ont été découvertes. Les conceptions importantes 
ne sont point dues au hasard : elles se présentent aux hommes éminents de 
chaque époque lorsqu'elles sont naturellement amenées par les besoins et 



_ k — 

varier à l'infini. Nous en avons choisi particulièrement quelques-unes, à 
cause de leur importance dans la science. En Géométrie, nous avons considéré 
la courbure des lignes planes, le cercle oscillateur, les développées, etc. ; 
en Mécanique, la vitesse, l'accélération, le poids spécifique en un point 
d'une substance non homogène, etc. Nous avons étudié aussi la question 
générale du déplacement d'une figure sur un plan, et nous avons vu com- 
ment se résolvent les problèmes de tangentes auxquels elle donne lieu. 

Toutes les théories dont nous avons parlé jusqu'ici se ramenant à des 
limites de sommes ou de rapports, nous avons cru convenable de les ex- 
poser et d'en faire des applications particulières avant d'établir les règles 
du Calcul différentiel et du Calcul intégral, qui donnent plus de simplicité 
et de généralité à l'exécution de tous les calculs auxquels elles se ramènent. 
Comme elles sont en elles-mêmes indépendantes des moyens d'exécution 
des opérations qu'elles indiquent, nous avons cru devoir les présenter avant 
les longues et pénibles théories d'Analyse, qui donnent les meilleures règles 
pour cette exécution. En suivant la marche inverse, on rebute l'esprit par 
des recherches abstraites dont il ne voit pas l'objet, et il est môme à craindre 
que les théories géométriques que l'on expose ensuite ne soient prises pour 
des dépendances des théories analytiques, avec lesquelles elles n'ont en 
elles-mêmes rien de commun, et qui ne leur servent qu'à l'exécution du 
calcul des limites de sommes ou de rapports, auxquelles elles ont ramené 
l'objet de leur recherche. 

Telle est la marche que nous avons suivie dans le premier Livre de cet 
Ouvrage. Dans les Livres suivants, nous donnons les règles pour trouver les 
limites des rapports des accroissements infiniment petits de variables liées 
par des équations données, ainsi que les limites des sommes d'infiniment 
petits, représentés par une formule générale. Nous donnons à ces deux pro- 
blèmes d'Analyse, dont l'un est l'inverse de l'autre, toute l'extension dont ils 
sont susceptibles, en restant dans le cadre qui convient à de simples éléments, 
et nous formons ainsi ce que l'on appelle le Calcul différentiel et intégral. 

Ainsi, dans cet essai, que nous espérons rendre un jour moins imparfait, 
notre objet a été l'étude de la méthode infinitésimale considérée en elle- 
même; et les procédés si importants du Calcul différentiel et du Calcul 
inverse ont été les moyens d'exécution des opérations auxquelles cette mé- 
thode a ramené la solution des questions qu'elle s'est proposées. Cette sub- 
ordination, que nous avons tenu à rendre bien explicite et bien sensible, 
donne la raison de l'ordre que nous avons suivi dans cet Ouvrage, et du 
titre que nous lui avons donné. 

La seconde Partie a pour objet principal l'intégration des équations diffé- 
rentielles; mais nous ne nous sommes pas proposé de traiter cette matière 
avec toute l'étendue que permettrait l'état actuel de la Science. Nous avons 
voulu simplement présenter un cours élémentaire de Calcul intégral, à peu 
près tel qu'était celui de l'École Polytechnique il y a quelques années. 
Toutefois, nous avons cherché à n'omettre aucune idée importante, et à 
préparer à la lecture des ouvrages des grands géomètres, tant sur l'Ana- 
lyse pure que sur ses applications à la Mécanique et à la Physique. C'est 
dans cette vue, par exemple, que nous avons donné des formules pour la 
représentation des fonctions arbitraires par des séries trigonométriques ou 
des intégrales définies multiples, et montré comment ces dernières peuvent 
servir à "l'expression des intégrales des équations différentielles et des équa- 
tions aux différentielles partielles. Dihajiel. 



14832 Paris. — Imprimerie GAUTHIEU-VILLAUS ET FILS, quai des Grands- Augustins, 55. 



ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. EMPLOI DES ÉCHELLES BINAIRES. 73 

plèthes (y) et (o) de l'échelle E 2 . D'après la définition même des 
échelles E, et E 2 , on a pour ce point 



par suite 



# = <p(a, p), 

y = x<\>(y,ù); 

= T(«,P)+(Tf,8)- 



Si donc on a tracé sur l'abaque des parallèles aux axes Ox et Oy 
et des radiantes allant de O au bord extérieur de l'échelle E 2 , on 
n'aura qu'à suivre la parallèle à Ox menée par le point de ren- 
contre de la parallèle (a, (3) à Oy et de la radiante (y, S) pour 

avoir sur Oy la valeur de cp(a, (3) ^(v, o). 




Faisant alors coïncider avec cet axe Oy l'axe Ox' d'un second 
abaque muni d'une échelle binaire à radiantes E 3 donnant les va- 
leurs de y (s, 7}), on aura, de même, sur l'axe Oy', les valeurs de 
cp(a, (3) 6(y, S) y(s, 7]), et ainsi de suite. 

On peut donc toujours disposer autour d'un certain axe A un 
abaque donnant sur cet axe les valeurs d'un produit d'éléments bi- 
naires en nombre quelconque. 

Un second produit analogue pourra être donné par une échelle B, 
un troisième par une échelle C, etc. 



80 CHAPITRE VI. 

cédés de représentation pour certaines classes d'équations à plus 
de trois variables. C'est ce que nous allons faire à présent ('). 

Principe des points doublement isoplèthes. 

45. Reprenons la forme générale (E I!I ) (n° 4) des équations à 
triple réglure en introduisant une quatrième variable o dans une 
des lignes du déterminant 



(fi) 



/i(«, 8) /»(<*, 0) / 3 (a, 0) 
?i(P) ?■(?) ?3(P) 

<W(ï) +»(T) Wï) 



Cette équation exprime, si l'on représente par u et v des coordon- 
nées parallèles de droites (n° 28), que les points dont les équations 
sont 

(fi) k/i(«, o)+c/ 2 (a, 3) + / 3 (a, 8)=o, 

(1 2 ) K?l(P) -4-P?«(P) -H?3(P) =0, 

(1 3 ) m^i(t) -i-^^Cï) H-4»s(T) =0 

sont alignés sur une même droite. 

Lorsque, dans les équations (I 2 ) et (I3), on fait varier les para- 
mètres p et y, on obtient deux séries de points isoplèthes ((3) et (y) 
distribuées chacune sur une certaine courbe. 

Considérons maintenant l'équation (Ij). Pour chaque valeur 
de a, on obtient, par variation de 0, une certaine courbe qui est 
une isoplèthe (a). De même, pour chaque valeur de 0, on obtient, 
par variation de oc, une isoplèthe (0). Pour des valeurs particu- 
lières de a et de 0, le point (I,) correspondant est à la rencontre 
des isoplèthes (a) et (S) répondant à ces cotes particulières. C'est 
pourquoi nous l'appellerons point doublement isoplèthe. 

En résumé, l'équation (E) est représentée par un abaque 
(fîg. 33) composé des deux séries de points isoplèthes ((3) 
et (y) et des deux cours d'isoplèthes (a) et (0), et les valeurs 
correspondantes des quatre variables sont telles que la droite joi- 

(') Voir aussi la fin du n° 10. 



MÉTHODE DES POINTS DOUBLEMENT 1SOPLÈTHES. 8l 

gnant le point ([3) au point (y) passe par le point de croisement 
des isoplèthes (a) et (S) (*). 

Fïsr. 33. 




Par exemple, sur l'abaque de X^fig. 33, pour 
a — 5, (3 = 3, y = i3, 
on a, comme le montre la droite en pointillé, 

o = i5. 

On a ainsi le cas d'extension à quatre variables du principe fon- 
damental, auquel nous avons fait allusion au n° 37. 

Abaque de l'équation complète du troisième degré. 

46. Appliquons tout de suite cette méthode à l'équation com- 
plète du troisième degré 

*»•+ nz*-\-pz -h q = o. 

Il suffit, comme au n° 30, de prendre 

il = />, ç — q. 



(') Nous avons communiqué cette méthode à l'Académie des Sciences dans la 
séance du 23 février 1891 (Comptes rendus, t. GXII, p. 4 21 )- 

0. 6 



88 



CHAPITRE VI. 



au point de division/?' de l'axe Bv {fig- 36). Ce sont, par suite, 
ces droites issues respectivement de B et de A qui constituent les 
isoplèthes (p) et (//). 

Si donc on connaît y?, f et p' et qu'on veuille avoir/', on n'a 
qu'à lire la cote du point où Bv est coupé par la droite joignant le 



Fig. 36. 




point/ de A m au point de rencontre des radiantes/? et p' issues 
de B et de A. 

Dans le cas particulier de / = /', on retrouve l'abaque de 
M. Gariel, que celui-ci a obtenu par un procédé particulier basé 
sur l'emploi combiné d'une anamorphose et d'une transformation 
perspective ('). La marche ci-dessus indiquée est incontestable- 
ment plus directe et plus rationnelle. 

51. Nous avons développé l'exemple précédent pour faire voir 
comment la construction de l'abaque de M. Gariel se rattache au 
principe des points doublement isoplèthes. Nous ferons remarquer 
maintenant que la formule des lentilles peut se mettre en abaque 
encore plus simplement. Il suffit d'un quadrillage, tel, par exemple, 
que celui qui est imprimé sur le papier à croquis qu'on trouve dans 
le commerce. 



(') Voir Favaro et Terrier, Calcul graphique, p. 



MÉTHODE DES POINTS DOUBLEMENT ISOPLÈTHES. 8g 

Ayant choisi dans ce quadrillage des axes Ox et Oy (fîg. 07), 
on voit que la verticale correspondant à la valeur de/et l'horizon- 
(alc correspondant à la valeur de f doivent se couper sur la droite 

Fi" 3n 



9 






















8 












































fi 






















S 





































































































































if 5 6 1 

(f) et- (p) 



qui joint le point/? de l'axe Ox au point/)' de l'axe Oy. Cela tienl 
tout simplement à ce que l'équation de cette droite est 



y 



L'abaque ainsi obtenu et celui de la fig. 36 sont corrélatifs, 
selon le mode indiqué au n° 29. On peut remarquer, dans un in- 
térêt purement théorique, que ce dernier abaque se rattache immé- 
diatement aussi, si l'on veut, au principe des points doublement 
isoplèthes. Il suffît, pour cela, d'observer que l'équation 

f f 
P P 

est représentable par les deux systèmes de points simplement iso- 
plèthes 

11 -+- v = ip (x = o, y = /?'), 

u{\ — p)-\-v(i-\-p)=o {x — p, y = o), 
et le système de points doublement isoplèthes 

"0 — /)+ p(i ■+-/)— 2/'= o (x =f, y=f). 



96 TABLE DES MATIÈRES. 

Pages 
Transformation des abaques à droites isoplèthes en abaques à points iso- 

plèthes 54 

Abaque de l'équation trinôme du troisième degré 5^ 

Abaque du fruit intérieur du mur de soutènement d'une terrasse horizontale. 56 

Application du principe de l'homographie .... 59 

Dilatation d'ordonnées 61 

Anamorphose graphique 63 

Chapitre V. — Équations à plus de trois variables. — Emploi 
des échelles binaires. 

Abaques hexagonaux à échelles binaires 65 

Exemples d'application : 

i° Abaque des intérêts composés 67 

2 Abaque de la poussée des terres 69 

Généralisation de l'addition graphique 70 

Généralisation de la multiplication graphique 72 

Mode de combinaison plus général des éléments binaires -j\ 

Abaque de la déviation du compas 75 

Chapitre VI. — Méthode des points doublement isoplèthes. 

Principe des points doublement isoplèthes 80 

Abaque de l'équation complète du troisième degré 81 

Abaques des équations des quatrième et cinquième degrés 83 

Abaque de la distance sphérique 84 

Abaque des lentilles 87 

Equations à cinq et à six variables 90 

Isoplèthes tangentielles 91 

Note additionnelle. 

Généralisation de l'emploi des transparents 90 



TABLE DES PLANCHES. 

PI. I. — Abaque du poids de la vapeur d'eau contenue dans l'air ( n° 14). 

» II. — » de remblai ( n° 25 - i°). 

» III. — » cle déblai (n° 25 - 2°). 

» IV. — » des murs de soutènement pour un massif de terre profilé 

suivant son talus naturel (n° 1G). 

» V. — » des intérêts composés ( n° 39 - i°). 

» VI. — » de la poussée des terres ( n° 3g - 2 ). 

» VII. — » de la déviation du compas du navire le Triomphe ( n° 43). 

» VIII.— » de l'équation complète du troisième degré (n° 46). 



7Ù29 Paris — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-Augustins 



\ 



Transparent à détacher 
POUR L'EMPLOI DES ABAQUES HEXAGONAUX 






/ 


/ 




/ 




/ 




/ 




/ 




/ 





\ 



\ 



III 83UQÀ8A 8Sd ÎO.HI/IJ JTUO'I 

(\1 ' 



\ 






\ / 
■ : -y 



\ 

\ 












\ 



D'OCAGNE. Nomograph 



PLI 



& 




1 


a 






<v 




& 


t3 




g 


h 

3 




«8 


<& 




In 


P-< 


Eh 


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«s 


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S 


03 


t/3 


0) 




s 




45 

Tj 


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-d 


-5 


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^ 


o 


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2 


«s 


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"S 

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Ci 


4) 


0> 




? 


si 




*! 


C^ 




*q 


cd 




pO 






< 








8 « g a s "° ° 

Echelle de la température 



GautAÙ7>-lïllary et Fus— Éditeurs. 



DOCAGNE. «omograpMe 



PL II 



Abaque de remblai 

( R = R/+ R" ) 




600 

700 
800 

900 
1000 



60 

_I_70 
80 



.90 
.100 



I met. carrés 



JT^-Ferrins', Sc>? 



Gcuitftier- VUlcvrs et J^ïlr- JS'diteur-s : 



D'OCACXE. îïoniog 1 



Abaque A 
( R 







D ' C AG H K . Nomo gra phi ( 



PI. III 




M^Terrtns, Se 



OautÂier'-Ptliars et Eïls. Editeurs. 



D ' CAGN E . ï\ omograpMc 



PL IV 




Rk 9- "«S 



^WJ'errins, Se* 



Gauthier- IWans et Mîs.. Jïditeicrj. 






I 










D'OCAGNE. 


Nomoëraphie 


Pl.V 




Abaque des intérêts composés 










— 2_ 

3_: 

5_ 
6_ 
2_ 

8__ 

9_ 

10 _ 

"S . 

O 

-■*,: 
-ï 

20_ 

30 _ 

W_ : 

50_J 

60_ 

30 _ 
80-1 
90_I 
100_I 
110 _ 

120_ 

130_ 
1*0 _ 
150_ 
160_ 
110 _ 
180 _ 








| 










\ 






°% y 










-A 

oc. AT/ 

^<$< 
10' 


•& / / ,wyC// /vs/v/ //^> -s^j 




#^^^^^^^<° * 




^ ////%</// /1>s//^^ 














Il^gSs^ 50 
6% 


*l> 3 °/° \ Taux 






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^^\ é 










^*\ " c 




^\ ^ 






V» 





















Jt^Perrïns. S<y? 



&cutt/uer''fïllary et Jï&r _ Editeurs. 



D' OCAGNE . Nomograplri< 



PI. VI 



Abaque de la poussée des terres 
sur un mur de soutènement 




JlCf'.Perr-in/, Se 



GcuUJvier-Fîllanr et J^ils^ Editeurs. 



D' OCAGNE . Nomographk 



.PI. VIL 




MfPer^ins, So} 



£au£hier -Mliars et FUs- ^Editeurs. 



D'OCAGNE. Nomo graphie 



PI. VIII 



Abaque de lequation 




Nota. -Zes cotes de z inscrites sur 
l'axe horixontal sont répétées 
pour les valeurs comprises entre 
<n,b et 10 sur les courbes (n) co- 
tées de f-6) à (-10), à l'intersection 
de celles- ci et des verticales cor- 
respondantes. 



M^-Perrvv; St>. 



IrcucÛuer'-JfllaTs et JUls Editeurs. 



LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS, 

QUAI DES GïUNDS-AUGUSTlJWS, r > '">, A 1WRIS. 



ENDRÈS (E.), Inspecteur général honoraire des Ponts et Chaussées. — 
Manuel du Conducteur des Ponts et Chaussées, d'après le dernier Pro- 
gramme officiel des examens. Ouvrage indispensable aux Conducteurs et 
Employéssecondaires des Ponts et Chaussées et des Compagnies de Che- 
mins de fer, aux Gardes-Mines, aux Gardes et Sous-Officiers de l'Artillerie 
et du Génie, aux Agents voyers et à tous les Candidats à ces emplois. 
Honore' d'une souscription des Ministères du Commerce et des Travaux 
publics, et recommandé pour le service vicinal par le Ministère de V In- 
térieur. 7 e édit., modifiée conformément au Décret du 9 juin 1888. 3 vol. 
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des doctrines spéciales qui se rattachent à l' Art dé l'ingénieur en général et au 
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nouveau de calcul graphique, déduits de la considération des coordonnées 
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graphie parcellaire de France. — Tables trigonométriques centésimales, 

précédées des Logarithmes des nombres de 1 à 10000, suivies d'un grand 
nombre de Tables relatives à la transformation des coordonnées topo- 
graphiques en coordonnées géographiques et vice versa; aux nivellements 
trigonométriques et barométriques ; au calcul de l'azimut du Soleil et de 
l'étoile polaire, du temps et de la latitude; au tracé des courbes avec le 
tachéomètre ; etc., etc. A l'usage des Topographes, des Géomètres du 
Cadastre et des Agents des Ponts et des Mines. Petit in-8 ; 1889. 

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Lille. — Cours de Mathématiques supérieures à l'usage des candidats 
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le texte ; 1 891 ' 8 fr. 5o c. 

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